Question

【题目】若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）过的直线与双曲线的左支交于、两点，求直线斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设双曲线:,将点代入方程,可求出,进而可求出双曲线的方程;

（2）通过讨论可知直线的斜率存在,设出直线方程并与双曲线方程联立,得到方程,只需,求解即可.

（1）因为双曲线与双曲线有共同的渐近线,

不妨设双曲线:.

因为点在上,代入方程解得,

所以双曲线的方程为.

（2）由（1）知,双曲线的方程为.

当直线斜率不存在时,显然直线与双曲线无交点,不合题意,舍去；

当直线斜率存在时,设斜率为,则直线的方程，

联立,整理得,

直线与双曲线的左支交于两点,则，

即,解得.

所以直线斜率的取值范围是.