题目内容
【题目】在三棱柱中,
,侧面
是边长为2的正方形,点
,
分别在线段
、
上,且
,
,
.
(Ⅰ)证明:平面平面
;
(Ⅱ)若,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
试题(1)取线段中点
,连接
.通过
证明
,从而有
,而
,所以
面
,
面
,所以面
面
;(2)记线段
中点为
,连接
,由(1)知,
两两互相垂直,以
为坐标原点,分别以
为正交基底建立如图所示空间直角坐标系
.用法向量的方法求直线
与平面
所成角的正弦值为
.
试题解析:
解:
(1)取线段中点
,连接
.
在正方形中,
,
在和
中,
,
又,所以
,
∴,
从而,
所以,即
2分
又,
所以面
.
面
,
∴4分
在等腰三角形中,
,又
与
相交,知
∴面
,
面
,∴面
面
6分
(2)
在等腰三角形中,由
知
,且
,
记线段中点为
,连接
,由(1)知,
两两互相垂直,
以为坐标原点,分别以
为正交基底建立如图所示空间直角坐标系
,则
8分
设平面的法向量为
,则
,即
,
取,则
,从而得到平面
的一个法向量
10分
,记直线
与平面
所成角为
,
则.
故直线与平面
所成角的正弦值为
12分
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】由中央电视台综合频道()和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青春电视公开课。每期节目由一位知名人士讲述自己的故事,分享他们对于生活和生命的感悟,给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养,讨论青年们的人生问题,同时也在讨论青春中国的社会问题,受到青年观众的喜爱,为了了解观众对节目的喜爱程度,电视台随机调查了
、
两个地区的100名观众,得到如下的
列联表:
非常满意 | 满意 | 合计 | |
30 | |||
合计 |
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名,该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为
,且
.
(Ⅰ)现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查,则应抽取“满意”的、
地区的人数各是多少;
(Ⅱ)完成上述表格,并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系;
(Ⅲ)若以抽样调查的频率为概率,从地区随机抽取3人,设抽到的观众“非常满意”的人数为
,求
的分布列和期望.
附:参考公式: