题目内容
【题目】已知函数在
处的切线方程为
(1)若=
,求证:曲线
上的任意一点处的切线与直线
和直线
围成的三角形面积为定值;
(2)若,是否存在实数
,使得
对于定义域内的任意
都成立;
(3)在(2)的条件下,若方程有三个解,求实数
的取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】试题分析:根据导数的几何意义, 为切线的斜率,解出
,写出
的切线方程求出三角形的面积为定值.利用
求出
,假设存在
满足题意,则式子
对定义域任一
恒成立,解出
;代入
的值使方程
有三个解,化为
,画出
的图象,要求
<
<0,解出
的范围.
试题解析:(1)因为 f′(x)=
所以 f′(3)= ,
又 g(x)=f(x+1)=ax+ ,
设g(x)图象上任意一点P(x0,y0)因为 g′(x)=a﹣ ,
所以切线方程为y﹣(ax0+)=(a﹣
)(x﹣x0)
令x=0 得y=; 再令y=ax得 x=2x0,
故三角形面积S=|
||2x0|=4,
即三角形面积为定值.
(2)由f(3)=3得a=1,f(x)=x+ ﹣1假设存在
满足题意,
则有x﹣1++m﹣x﹣1+
=k
化简,得 对定义域内任意x都成立,
故只有 解得
所以存在实数m=2,k=0使得f(x)+f(m﹣k)=k对定义域内的任意都成立.
(3)由题意知,x﹣1+=t(x2﹣2x+3)|x|
因为x≠0,且x≠1化简,得 t=
即 =|x|(x﹣1),
如图可知,﹣ <
<0,
所以t<﹣4即为t的取值范围.
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