Question

【题目】已知函数= ， .

（1）若函数在处取得极值，求的值，并判断在处取得极大值还是极小值.

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由得到，并通过求导判断得到处取得极小值；（2）在上恒成立，令，通过分类讨论，得到时， ，所以。

试题解析：

（1）的定义域是，=，由得.

当时，=，=

恒成立， 令=，=恒成立

在上单调递增，又因为

当时，，单调递减；当时，，单调递增.

当时，在处取得极小值.

（2）由得在上恒成立

即在上恒成立.

解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：

令，

①当时，在上单调递减，，，所以的值域为：，因为，所以的值域为；所以不成立.

②当时，易知恒成立.，所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，所以，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，依题意，，所以.

综上：

解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：

命题“对都成立”的否定是“在上有解”

在上有解在上有解

在上有解

令，.

，所以在上单调递增，又，所以无最小值.所以；

令，

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以,所以.

因为在上有解时，；

所以对都成立时，.