题目内容

【题目】如图,四棱锥中,底面的菱形,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直, 的中点.

(1)求证: 平面

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】试题分析:1要证平面,转证线线垂直即可;(2)分别求出两个平面的法向量,利用向量间的运算关系求出两个向量的夹角,再转化为二面角的平面角.

试题解析:

(1)法一:作,连接

由侧面与底面垂直,则

所以,又由

,即

的中点,连接 的中点,

则四边形为平行四边形,

所以,又在中,

中点,所以

所以,又由所以.

法二: 作,连接

由侧面与底面垂直,则

所以,又由

,即

分别以 所在直线为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,

由已知

所以

又由所以.

(2)设面的法向量为

由(I)知,取面的法向量为

所以,设二面角大小为,由为钝角得

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