Question

1、已知复数z=m（m-1）+（m²+2m-3）i，当实数m取什么值时，复数z是：
（1）零；（2）纯虚数；　（3）z=2+5i．
2、设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求

.

z

．

Answer 1

分析：1、（1）根据实部和虚部为零，列出方程进行求解；（2）令它的实部为零，虚部不为零列出方程进行求解；
（3）根据实部和虚部对应相等，列出方程进行求解；
2、利题意中复数的模列出一个方程，再由已知的复数是纯复数，由它的实部为零，虚部不为零列出一个方程，组成方程组进行求解，再求出它的共轭复数．

解答：解：1．（1）∵z=m（m-1）+（m²+2m-3）i=0，∴

m(m-1)=0 m2+2m-3=0

，解得m=1；
（2）∵z=m（m-1）+（m²+2m-3）i是纯虚数，∴

m(m-1)=0 m2+2m-3≠0

，解得m=0；
（3）∵z=m（m-1）+（m²+2m-3）i=2+5i，∴

m(m-1)=2 m2+2m-3=5

，解得m=2，
2．∵z=m（m-1）+（m²+2m-3）i，且|z|=1，∴m²（m-1）²+（m²+2m-3）²=1
化简得，2m⁴+2m³-m²-12m+8=0   ①，
∵（3+4i）•z=（3+4i）[m（m-1）+（m²+2m-3）i]=（-m²-11m+12）+（7m²+2m-9）i，且它是纯虚数，
∴-m²-11m+12=0，解得，m=-12或1，代入①式验证也成立，故z=±(

4

5

+

3

5

i)，
则

.

z

=z=±(

4

5

-

3

5

i)．

点评：本题考查复数的综合知识的应用，涉及了共轭复数和复数相等的定义、纯虚数的定义的应用，难度不大，主要考查了基本的定义．