题目内容
【题目】我们称一个非负整数集合(非空)为好集合,若对任意
,或者
,或者
.以下记
为
的元素个数.
(Ⅰ)给出所有的元素均小于的好集合;(给出结论即可)
(Ⅱ)求出所有满足的好集合;(同时说明理由)
(Ⅲ)若好集合满足
,求证:
中存在元素
,使得
中所有元素均为
的整数倍.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析;.(Ⅲ)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据题意得到集合为;(2)设
,其中
,则由题意:
,故
,即
,根据题干中的条件限制元素特性,进而找到满足条件的好集合;(3)通过归纳可得到结果.
解析:
(Ⅰ).
(Ⅱ)设,其中
,则由题意:
,故
,即
.
考虑,可知
,所以
或
.
若,则考虑
,由于
,所以
,因此
.
所以.但此时考虑
,但
,不满足题意.
若,此时
满足题意.
所以,其中
为相异正整数.
(Ⅲ)记,则
.
首先, .设
,其中
.
分别考虑和其他任一元素
,由题意可得
也在
中.
而,
所以,所以
.
对于,考虑
,其和大于
,故其差
.
特别的, ,所以
.
由,且
,所以
,
通过归纳可得: .
所以,此时
.得证.
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