Question

（本小题满分14分）

   已知椭圆C₁： (a>b>0)的离心率为，直线：＋2＝0与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切。

  （1）求椭圆C₁的方程；

  （2)设椭圆C₁的左焦点为F ₁，右焦点F₂,直线过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直直线于点P，线段PF₂的垂直平分线交于点M,求点M的轨迹C₂的方程；

  （3）若A(x₁，2)、B(x₂ ，Y₂)、C(x₀，y₀)是C₂上不同的点，且AB⊥ BC，求Y_o的取值范围。

Answer 1

解：（1）所以，，所以，2a²＝3b²，．．．．．．．2分，

直线l：x一y＋2＝0与圆直线l：x一y＋2＝0与x²＋y²＝b²相切，

所以，＝b，所以，b＝，b²＝2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分，

a²＝2，所以，椭圆C₁的方程是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分，

（2）因为｜MP｜＝｜MF₂｜，

所以，动点M到定直线：x＝－1的距离等于它到定点F₂（1,0）的距离

所以，动点M的轨迹是以为准线，F₂为焦点的抛物线，

＝1，所以点M的轨迹C₂的方程为y²＝4x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分。

（3）由（1）知A（1,2），

又AB⊥ BC，所以，＝0，

整理，得：y₂²＋（y₀＋2）y₂＋16＋2y₀＝0，．．．．．．．．．．．．．12分

此方程有解，

所以∆＝（y₀＋2）²－4（16＋2y₀）≥0，解得：y₀≤－6或y₀≥10，

当y₀＝－6时，B（4,2），C（9，－6），故符合条件，

当y₀＝10时，B（9,－6），C（25，10），故符合条件，

所以，点C的纵坐标y₀的取值范围是（－，－6）∪［10，＋）．．．．．．．．．．．．．14分。