题目内容

(本小题满分14分)

一种计算装置,有一数据入口A和一个运算出口B ,按照某种运算程序:①当从A口输入自然数1时,从B口得到 ,记为;②当从A口输入自然数时,在B口得到的结果是前一个结果倍.

(Ⅰ)当从A口分别输入自然数2 ,3 ,4 时,从B口分别得到什么数?

(Ⅱ)试猜想的关系式,并证明你的结论.

(本小题满分14分)

解:(Ⅰ)由已知得   ……1分

时,,  ……2分

同理可得 ………………………… 4分 

(Ⅱ)猜想 …………7分

下面用数学归纳法证明成立

①当时,由已知可知成立    ……8分

②假设时,猜想成立,即 …………9分

那么当时,……………12分

         

时,也成立            ………………13分

综合①②所述,对 ,成立。  …………14分

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