Question

（12分）已知函数，是的一个极值点．
（1）求的单调递增区间；
（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数的单调递增区间为，. （Ⅱ）. 

解析试题分析：（I）先求导函数，然后根据x=2是f（x）的一个极值点建立等式关系，求出b，然后解不等式f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间；
（II）先利用导数求出函数f（x）在区间[1，3]上的最小值，若当x∈[1，3]时，要使f(x)-a²＞
恒成立，只需f(x) _min＞a²+，即可求出a的范围．
解：（Ⅰ）.    ∵是的一个极值点，
∴是方程的一个根，解得.  
令，则，解得或.
∴函数的单调递增区间为，.
（Ⅱ）∵当时，时，
∴在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增.  
∴是在区间[1，3]上的最小值，且 . 
若当时，要使恒成立，只需，
即，解得 . 
考点：本题主要考查了函数的极值，单调性和在闭区间上的最值，同时考查了恒成立问题，属于中档题
点评：解决该试题的关键是利用极值点处导数为零，那么得到参数b的值，然后求解二次不等式同时能将不等式的恒成立问题，转换为求解函数的最小值大于参数问题。即f(x) _min＞a²+体现了转换与化归思想的和运用。