题目内容
【题目】已知右焦点为的椭圆:过点
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线交椭圆于点,连接(为坐标原点)交于点,求的面积取得最大值时直线的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由题意可知,左焦点.所以由椭圆的定义可求,再根据求出,即可求出椭圆C的方程;
(2)分类讨论当直线的斜率存在和不存在两种情况求的面积. 当直线的斜率存在时,设出直线方程与椭圆方程联立,结合韦达定理,表示出的面积,再利用基本不等式求最值.
(1)椭圆C:的右焦点为,左焦点.
椭圆C过点P,由椭圆的定义可知
,
.
由椭圆的方程为.
(2)由题意可知,直线的斜率不为0.
当直线的斜率不存在时,易求.
当直线的斜率存在时,可设直线的方程为.
联立方程组消可得,
则,
,
.
是的中点,
,
,
,当且仅当,即时等号成立.
面积的最大值为2.
综上,面积的最大值为2.
所以直线的方程为.
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