题目内容

15.现有一块正三棱锥形石料,其三条侧棱两两互相垂直,且侧棱长为1m,若要将这块石料打磨成一个石球,则所得石球的最大半径为$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$.

分析 利用三棱锥的体积的两种求法,列出关于该正三棱锥的内切球的半径的等式,求出内切球的半径.

解答 解:设正三棱锥内切球的半径为r,根据三棱锥的体积的两种求法,得
$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{3}×[\frac{1}{2}×1×1×3+\frac{\sqrt{3}}{4}×(\sqrt{2})^{2}]r$
∴r=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$,
故答案为:$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$.

点评 本题考查棱锥的结构特征,内切球的知识,考查空间想象能力,计算能力,是中档题.

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