题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若函数在
取得极小值,若
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)
【解析】
(1)对求导,求出
的零点,对
进行分类讨论,讨论每种情况下
的单调性即可;
(2)讨论三种情况下
的极小值,
时,
无极小值;
时,
的极小值
,所以成立;
时,
的极小值
,构造函数
,判断
的单调性求出
的范围即可.
(1)由题意,.
令解得
,
,
①当时,
时,
,则
在
为增函数;
时,
,则
在
为减函数;
时,
,则
在
为增函数;
②当,
时,
,则
在
为增函数;
③当时,
时,
,则
在
为增函数;
时,
,则
在
为减函数;
时,
,则
在
为增函数;
综上所述:当时,
在
为减函数,在
和
为增函数;
当时,
在
为增函数;
当时,
在
为减函数,在
和
为增函数;
(2)由(1)可当函数
不存在极值点,
当时,可知函数
,
所以成立;
当时,可知函数
,
令,
则,
,
当时,
,即
在
为减函数,
所以,所以
在
上为减函数,
又因为,所以
,
由在
上为减函数,得
.
综上所述,当,
.

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