题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
、
,焦点为
的抛物线
的准线被椭圆
截得的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点、
到直线
的距离之积为
,求证:直线
与椭圆
相切.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据抛物线的焦点坐标,求得,根据题意可得知点
在椭圆
上,利用椭圆的定义可求出
的值,进而得出
的值,即可求得椭圆
的标准方程;
(2)根据(1)中的椭圆方程,求得两个焦点,利用点到直线的距离公式求得和
的关系,再将直线方程代入椭圆方程,计算出
,即可证明直线
与椭圆
相切.
(1)设椭圆的焦距为
,
抛物线的焦点为
,则
,抛物线
的准线方程为
,
由于抛物线的准线被椭圆
截得的弦长为
,则点
在椭圆
上,
由椭圆的定义得,
,则
,
因此,椭圆的标准方程为
;
(2)点到直线
的距离
,点
到直线
的距离为
,
则.
①若,则
,显然不成立;
②若,则
.
将直线的方程与椭圆
的方程联立
,
消去得
,
则,
因此,直线与椭圆
相切.
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