Question

【题目】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且。

（Ⅰ）求抛物线的标准方程及实数的值；

（Ⅱ）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的方程.

Answer 1

【答案】(1) , (2) .

【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义及点N的纵坐标为1，得|NF|，结合|NF|=2，求出p的值，即可求抛物线C的方程；
（2）设直线l的方程为：y=kx+1，代入抛物线方程，利用弦长公式求出|AB|，再求出O到AB的距离，利用△AOB的面积为4，求出k的值，即可求直线l的方程．

试题解析：

（Ⅰ）因为抛物线过点，

又因为， ，

，解得：

， ；

（Ⅱ）的焦点，设所求的直线方程为：

由，消去得：

因为直线与抛物线交于两点， ，

设，

，

所以的面积为，

解得： ，所以所求直线的方程为： .