题目内容

【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)若恒成立,试确定实数的取值范围;

(3)证明.

【答案】(1)函数的递增区间为,函数的递减区间为;(2);(3)见解析.

【解析】试题分析:(1)先求导数,再确定导函数在定义区间上零点情况:当k≤0时,导函数恒大于零,为增函数;当k0时,由一个零点x=,先减后增(2)不等式恒成立问题,一般转化Wie对应函数最值问题,即,结合(1)的单调性情况,可得k0f=ln≤0解得k≥1,(3)利用导数证明不等式,一般方法为构造恰当函数,利用其增减性进行证明:因为k=1时,fx≤0恒成立,即lnx﹣1)<x﹣2,令,则,代入叠加得证

试题解析:(I∵fx=lnx﹣1﹣kx﹣1+1,(x1

∴f′x=﹣k

k≤0时,f′x)>0恒成立,故函数在(1+∞)为增函数,

k0时,令f′x=0,得x=

f′x)<0,即1x时,函数为减函数,

f′x)>0,即x时,函数为增函数,

综上所述,当k≤0时,函数fx)在(1+∞)为增函数,

k0时,函数fx)在(1)为减函数,在(+∞)为增函数.

)由(1)知,当k≤0时,f′x)>0函数fx)在定义域内单调递增,fx≤0不恒成立,

k0时,函数fx)在(1)为减函数,在(+∞)为增函数.

x=时,fx)取最大值,f=ln≤0

∴k≥1,即实数k的取值范围为[1+∞

)由(2)知k=1时,fx≤0恒成立,即lnx﹣1)<x﹣2

1﹣

===

x=345…nn+1累加得

+…++++…+=,(n∈Nn1).

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