题目内容
【题目】求所有正整数,使得给定序列
,
,中的每一项都是平方数。
【答案】见解析
【解析】
解法1 由已知可得,
.
则.
故.
当时,有
.
当时,有
.
当时,
.
由于与
互质,则
与
是一组本原勾股数.
因此,存在互质的正整数,且
,
使得(1)
(2)
第(1)种情形中,由式①、②得. ④
由上式知为奇数,则
为偶数,
为奇数.
于是,由式②及,知
. ⑤
再利用式④得.
则, ⑥
其中,是相邻的两个整数.
由于它们互质,则.
于是,.
若,则
.
此式具有的形式,已证明它没有满足
的整数解,故
,矛盾.
若,则
.
此式具有的形式,也已证明它没有满足
的整数解,故
.
于是,.
由式④得.
由式②知,从而,
.
第(2)种情形下,没有满足条件的正整数解.
综上,找到了关于的所有选择
.
当时,得到一个各项均为平方数的周期序列:4,4,0,4,4,0,….
当时,得到一个各项均为平方数4的常数序列:4,4,4,4,….
当时,
,
,
,
,
,
……
由此可猜测此序列是斐波那契数列中奇数项的平方的4倍,即
.
如果是斐波那契数列,易知
及
,
故为平方数.
因此,,
即为平方数.
这说明符合题设要求.
综上,所有的取值为1,3,9.
解法2 由,
,
得.
于是,是偶数,又是平方数.
故可设.
从而,.
则.
故,
.
由是平方数,可设
. ①
当时,
.
此时,,
,
.
从而,数列的周期数列:
4,4,0,4,4,0,….
因此,满足条件.
当时,
.
从而,数列为常数数列; 4,4,4,….
因此,满足条件.
当时,有式①知
, ②
.
故
.
从而,,即式②等号成立.
于是.此时,
.
以下同解法1.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某水果经销商为了对一批刚上市水果进行合理定价,将该水果按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示:
试销单价 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
日销售量 | 168 | 146 | 120 | 90 | 56 |
(1)已知变量具有线性相关关系,求该水果日销售量
(公斤)关于试销单价
(元/公斤)的线性回归方程,并据此分析销售单价
时,日销售量的变化情况;
(2)若该水果进价为每公斤元,预计在今后的销售中,日销售量和售价仍然服从(1)中的线性相关关系,该水果经销商如果想获得最大的日销售利润,此水果的售价
应定为多少元?
(参考数据及公式:,
,
,线性回归方程
,
,
)