题目内容
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3) | 4 |
分析:利用数学归纳法的证明的步骤,(1)验证n=1时等式成立;(2)设当n=k(k∈N*)时,等式成立,证明n=k+1时,等式也成立,即可.
解答:证明:(1)当n=1时,左边=1×2×3=6,右边=
=6=左边,
∴等式成立.(2分)
(2)设当n=k(k∈N*)时,等式成立,
即1×2×3+2×3×4++k×(k+1)×(k+2)=
.(4分)
则当n=k+1时,左边=1×2×3+2×3×4++k×(k+1)×(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)
∴n=k+1时,等式也成立.(8分)
由(1)、(2)可知,原等式对于任意n∈N*成立.(10分)
1×2×3×4 |
4 |
∴等式成立.(2分)
(2)设当n=k(k∈N*)时,等式成立,
即1×2×3+2×3×4++k×(k+1)×(k+2)=
k(k+1)(k+2)(k+3) |
4 |
则当n=k+1时,左边=1×2×3+2×3×4++k×(k+1)×(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)
|
∴n=k+1时,等式也成立.(8分)
由(1)、(2)可知,原等式对于任意n∈N*成立.(10分)
点评:本题是中档题,考查数学归纳法的证明步骤和方法,注意n=k+1时,与n=k时等式的结构形式必须一致.
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