题目内容

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.用数学归纳法证明:1×2×3+2×3×4+…+n×(n+1)×(n+2)=
n(n+1)(n+2)(n+3)4
 (n∈N*)
分析:利用数学归纳法的证明的步骤,(1)验证n=1时等式成立;(2)设当n=k(k∈N*)时,等式成立,证明n=k+1时,等式也成立,即可.
解答:证明:(1)当n=1时,左边=1×2×3=6,右边=
1×2×3×4
4
=6
=左边,
∴等式成立.(2分)
(2)设当n=k(k∈N*)时,等式成立,
1×2×3+2×3×4++k×(k+1)×(k+2)=
k(k+1)(k+2)(k+3)
4
.(4分)
则当n=k+1时,左边=1×2×3+2×3×4++k×(k+1)×(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)
=
k(k+1)(k+2)(k+3)
4
+(k+1)(k+2)(k+3)
=(k+1)(k+2)(k+3)(
k
4
+1)=
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
4
=
(k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)
4
.

∴n=k+1时,等式也成立.(8分)
由(1)、(2)可知,原等式对于任意n∈N*成立.(10分)
点评:本题是中档题,考查数学归纳法的证明步骤和方法,注意n=k+1时,与n=k时等式的结构形式必须一致.
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