题目内容

本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C两个小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
11
21
，向量
β
=
1
2
．求向量
α
，使得A2
α
=
β
．
C．选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标系x0y中，直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
2
2
+
3
2
t
（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=2cos(θ-
π
4
)．
（1）求直线l的倾斜角；
（2）若直线l与曲线l交于A、B两点，求AB．
分析：B、利用矩阵的乘法，计算A2，再利用矩阵与平面列向量的乘法，即可求得结论；
C、（1）设直线l的倾斜角为θ，利用参数方程可得
cosθ=
1
2
sinθ=
3
2
，结合θ∈[0，π），即可得到直线l的倾斜角；
（2）求出l的普通方程，曲线C的直角坐标方程，计算圆心到直线l的距离，即可得到|AB|．
解答：B．选修4-2：矩阵与变换
解：∵A=
11
21
，∴A2=
11
21
11
21
=
32
43
…（4分）
设
α
=
x
y
，则∵A2
α
=
β

∴
32
43
x
y
=
1
2

∴
3x+2y
4x+3y
=
1
2
…（8分）
∴
3x+2y=1
4x+3y=2
，
∴
x=-1
y=2
，
∴
α
=
-1
2
．…（10分）
C．选修4-4：极坐标与参数方程
解：（1）设直线l的倾斜角为θ，则
cosθ=
1
2
sinθ=
3
2
且θ∈[0，π），∴θ=
π
3
，即直线l的倾斜角为
π
3
…（5分）
（2）l的普通方程为y=
3
x+
2
2
，ρ=2cos(θ-
π
4
)的直角坐标方程为(x-
2
2
)2+(y-
2
2
)2=1，
所以圆心(
2
2
，
2
2
)到直线l的距离d=
6
4
，
∴|AB|=
10
2
…（10分）
点评：本题考查矩阵与变换，考查极坐标与参数方程，正确运用矩阵与平面列向量的乘法，化参数方程为普通方程，极坐标方程为直角坐标方程是关键．
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