题目内容
【题目】
如图所示,正方形与矩形
所在平面互相垂直,
.
(1)若点,
分别为
,
的中点,求证:平面
平面
;
(2)在线段上是否存在一点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析
【解析】
(1)四边形ADD1A1为正方形,连接AD1,设A1D∩AD1=F,则F是AD1的中点,
又点E为AB的中点,连接EF,则EF为△ABD1的中位线,所以EF∥BD1.
又BD1平面A1DE,EF平面A1DE,所以BD1∥平面A1DE.(3分)
因为BH//DE,且DE平面A1DE,BH平面A1DE,所以BH∥平面A1DE,
又BD1BH=B,所以平面
平面
.(5分)
(2)根据题意,得DD1⊥DA,D1D⊥DC,AD⊥DC,则以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为轴建立空间直角坐标系
,如图所示,
则D(0,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0).(7分)
假设满足条件的点E存在,且点E的纵坐标为,则E(1,
,0)(0≤
≤2),
=(-1,2-
,0),
=(0,2,-1),
设=(x1,y1,z1)是平面D1EC的法向量,则
,即
,
令=1,则平面D1EC的一个法向量为
=(2-
,1,2).(9分)
由题意,知平面DEC的一个法向量为=(0,0,1).(10分)
由二面角的大小为
,得
=
=
=
,
解得=
[0,2].
所以在线段上不存在一点
,使二面角
的大小为
.(12分)
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