题目内容
【题目】如图， 
为正方形， 
为直角梯形， 
，平面
平面
，且
.
（1）若
和
延长交于点
，求证： 
平面
；
（2）若
为
边上的动点，求直线
与平面
所成角正弦值的最小值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得
为
中点，再根据
为平行四边形得
，最后根据线面平行判定定理得结论,（2）利用空间向量求线面角,关键求出平面法向量:先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求出平面法向量,根据向量数量积求出直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值,最后根据线面角与两向量夹角之间关系求线面角正弦值,再根据自变量取值范围求最小值.
试题解析：（1）证明：在梯形PDCE中，PD＝2EC， 
为
中点， 
，且AB//CF， 
为平行四边形， 
面
， 
面
， 
BF∥平面PAC.
（2）方法一：令点
在面PBD上的射影为
， 
直线
与平面PDB所成角．
EC∥PD，所以EC平行于平面PBD，因为ABCD为正方形，所以
，又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，所以点C到面PBD的距离为
，因为EC平行于平面PBD，所以点
到PBD的距离
，
令
，所以
，所以
．
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，可知平面PDB的一个法向量为
， 
， 
，
，令直线
与平面PDB所成角为
，
．
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