Question

17．已知F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过左焦点F₁作直线l与双曲线的左支交于M，N两点，若|MF₂|=|MN|，且MF₂⊥MN，则双曲线的离心率为 （　　）

• A． $\sqrt{5-2\sqrt{3}}$
• B． $\sqrt{5-2\sqrt{2}}$
• C． $\sqrt{4-2\sqrt{2}}$
• D． $\sqrt{3-\sqrt{3}}$

Answer 1

分析 根据双曲线第一定义有|MF₂|-|MF|=2a，|NF₂|-|NF|=2a，两式相加得|MF₂|+|NF₂|-|MN|的值，利用|MF₂|=|MN|，且MF₂⊥MN，求出|MF₂|=2$\sqrt{2}$a．|MF₁|=（2$\sqrt{2}$-2）a，由勾股定理可得8a²+（2$\sqrt{2}$-2）²a²=4c²，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：根据双曲线定义有|MF₂|-|MF₁|=2a，|NF₂|-|NF₁|=2a，
两式相加得|MF₂|+|NF₂|-|MN|=4a．
∵|MF₂|=|MN|，
∴|NF₂|=4a，
∵MF₂⊥MN，
∴|MF₂|=2$\sqrt{2}$a．|MF₁|=（2$\sqrt{2}$-2）a，
∴由勾股定理可得8a²+（2$\sqrt{2}$-2）²a²=4c²，
∴e=$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$．
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线定义的灵活运用，考查学生的计算能力，属于中档题．