已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-2m+1.x≤0}\\{3x-4.x＞0}\end{array}\right.$.在R上有且仅有两个零点.求实数m的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

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题目内容

9．已知函数f（x）=

$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}-2m+1，x≤0}\\{3x-4，x＞0}\end{array}\right.$ ，（m∈R），若函数f（x）在R上有且仅有两个零点，求实数m的取值范围．

分析分x＞0与x≤0讨论，从而确定方程的解的个数，即函数的零点的个数即可．

解答解：∵当x＞0时，由3x-4=0解得x= $\frac{4}{3}$ ，
∴当x≤0时，方程e^x-2m+1=0有且仅有一个解，
而m= $\frac{{e}^{x}+1}{2}$ 在[0，+∞）上是增函数，
故m≥ $\frac{{e}^{0}+1}{2}$ =1，
故实数m的取值范围为[1，+∞）．

点评本题考查了分段函数的应用及函数与方程的关系应用．

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19．若函数f（x）=

$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{x}，x＞1}\\{（4-\frac{a}{2}）x+2，x≤1}\end{array}\right.$ 在x∈（-∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

20．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列两个条件：
（1）f（0）=0，f（1）=1；（2）对任意的实数x，y，都有f（

$\frac{x+y}{2}$ ）=（1-a）f（x）+af（y），其中a是常数．
（Ⅰ）求a和f（-1）值；
（Ⅱ）（i）判定函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（ii）设S（n）=f（1）•f（

$\frac{1}{3}$ ）+f（

$\frac{1}{3}$ ）•f（

$\frac{1}{5}$ ）+…+f（

$\frac{1}{2n-1}$ ）•f（

$\frac{1}{2n+1}$ ）（n∈N^*），若对于任意的正整数n，总有S（n）＜m恒成立，试求实数m的最小值．

17．已知F₁、F₂是双曲线

$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$

$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过左焦点F₁作直线l与双曲线的左支交于M，N两点，若|MF₂|=|MN|，且MF₂⊥MN，则双曲线的离心率为（　　）

$\sqrt{5-2\sqrt{3}}$

$\sqrt{5-2\sqrt{2}}$

$\sqrt{4-2\sqrt{2}}$

$\sqrt{3-\sqrt{3}}$

4．已知函数f（x）=1og₂²x+alog

${\;}_{\frac{1}{4}}$ （4x），x∈[1，4]，当a=1时，求f（x）的最值；若f（x）的最小值为3，求a的值．

在三棱锥S-ABC中，∠ASB=∠BSC=60°，∠ASC=90°，且SA=SB=SC，求证：平面ASC⊥平面ABC．

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，M，N，G分别是AA₁，CD，CB，CC₁的中点．
（1）若平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长是2的正方体，求四面体A₁B₁D₁E的体积和表面积；
（2）求证；MN∥B₁D₁；
（3）求证：平面EB₁D₁∥∥平面BDG．

18．指数函数y=（a-1）^x与

$y={（\frac{1}{a}）^x}$ 具有不同的单调性，比较m=

${（a-1）^{\frac{1}{3}}}$ 与n=

${（\frac{1}{a}）^3}$ 的大小关系．

19．设y₁=（

$\frac{2}{3}$ ）

${\;}^{3{x}^{2}+2}$ ，y₂=（

$\frac{2}{3}$ ）

${\;}^{{x}^{2}+4}$ ，求使y₁＜y₂的x的取值范围．