题目内容

18．数列有如下性质：若数列{an}为等差数列，当bn=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$时，数列{bn}也是等差数列；类比上述性质，在正项等比数列{cn}中，当dn=$\root{n}{{c}_{1}{c}_{2}•…•{c}_{n}}$时，数列{dn}也是等比数列．

分析 条件数列{an}为等差数列，当bn=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$时，根据等差与等比的类比，等差中和对应等比中积，等差中除对应等比中的开方很快得到在正项等比数列{cn}中，dn=$\root{n}{{c}_{1}{c}_{2}…{c}_{n}}$．

解答 解：等差数列中算术平均数$\frac{a+b}{2}$，对应等比数列中的几何平均数$\sqrt{ab}$，推广算术平均数bn=$\frac{{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}}{n}$，对应着几何平均数$\root{n}{{c}_{1}{c}_{2}•…•{c}_{n}}$，
故答案为数$\root{n}{{c}_{1}{c}_{2}•…•{c}_{n}}$．

点评 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．

练习册系列答案
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6．式子-2C${\;}_{n}^{1}$+4C${\;}_{n}^{2}$+…+（-2）nC${\;}_{n}^{n}$等于（　　）
A．3nB．3n-1C．（-1）n-1D．（-1）n
13．求使不等式$|{\frac{3n}{2n+1}-\frac{3}{2}}|＜\frac{1}{100}$成立的最小正整数n．
3．飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°30′，经过150s后又看到山顶的俯角为81°，求山顶的海拔高度（精确到1m）（sin18.5°≈0.317，sin81°≈0.988）
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（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在整数λ，使得$\sum_{i=1}^n{{a_i}^3}={（\sum_{i=1}^n{{a_i}^{\;}}）^λ}$对于任意正整数n恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．（注：$\sum_{i=1}^n{a_i}={a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_n}$）
7．已知{an}是等差数列，a1+a2=5，a7+a8=29，则d=（　　）
A．1B．2C．4D．6
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