题目内容
设一个焦点为
,且离心率
的椭圆
上下两顶点分别为
,直线
交椭圆
于
两点,直线
与直线
交于点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)求证：
三点共线.
(1) 
(2) 详见解析.
【解析】
试题分析：(1)利用椭圆的定义和几何性质；(2)直线与圆锥曲线相交问题，可以设而不求，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题目条件来证明.
试题解析：(1)由题知
，
，∴
， 3分
∴椭圆.4分
(2) 设点
，由(1)知
∴直线
的方程为
，∴
.5分
∴
，
，8分
由方程组
化简得:
,
,
.
10分
∴
,
∴
三点共线.12分
考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交问题；3.韦达定理.
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