题目内容

(满分12分)已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)增区间,减区间;(2);(3).

试题分析:(1)将代入函数解析式,直接利用导数求出函数的单调递增区间和递减区间;(2)将条件“在区间上为减函数”等价转化为“不等式在区间上恒成立”,结合参数分离法进行求解;(3)构造新函数,将“不等式在区间上恒成立”等价转化为“”,利用导数结合函数单调性围绕进行求解,从而求出实数的取值范围.
试题解析:(1)当时,

;解
的单调递增区间是,单调递减区间是
(2)由题知 恒成立
恒成立

(3)因为当时,不等式恒成立
恒成立,设
只需即可

①当时,
时,,函数上单调递减故成立;
②当时,令,因为,所以解得
(i)当,即时,在区间
则函数上单调递增,故上无最大值,不合题设;
(ii)当时,即时,在区间;在区间
函数上单调递减,在区间单调递增,同样无最大值,不满足条件;
③当时,由,故

故函数上单调递减,故成立
综上所述,实数的取值范围是.
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