Question

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（-4）=-2，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．则给出下列命题：
（1）f（2008）=-2；
（2）函数y=f（x）图象的一条对称由为x=-6； 
（3）函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数；
（4）方程f（x）=0在[-9，9]上有4个根；
其中正确的命题个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：（1）、赋值x=-3，又因为f（x）是R上的偶函数，f（3）=0，则函数f（x）为周期是6的函数，所以f（2008）=f（4），故f（2008）=-2；
（2）、f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（-x），又因为f （x+6）=f （x），得周期为6，从而f（-6-x）=f（-6+x），所以直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
（3）、有单调性定义知函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数；
（4）、f（3）=0，f（x）的周期为6，所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0．

解答：解：①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，则f（-3+6）=f（-3）+f （3），
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．所以f（2008）=f（4）=f（-4），
又由f（-4）=-2，故f（2008）=-2；故①正确
②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．故②正确
③：当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，
因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[-3，0]上为减函数
而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数．故③正确
④：f（3）=0，f（x）的周期为6，
所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0
函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．故④正确
故答案为：D．

点评：本题重点考查函数性质的应用，用到了单调性，周期性，奇偶性，对称轴还有赋值法求函数值．