题目内容
2.已知数列{an}满足a1=3,an+an+2=2an+1,其前n项和记为Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b2=3,公比为q,且b3+S3=27,b3=a3(1)求数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn=bn+$\frac{1}{{S}_{n}}$,求{cn}的前n项和Tn.
分析 (1)通过a1=3、an+an+2=2an+1可得数列{an}为等差数列,利用b3+S3=27、b3=a3,直接计算即可;
(2)通过Sn=$\frac{n(3+3n)}{2}$,分离分母、并项相加即得结论.
解答 解:(1)∵a1=3,an+an+2=2an+1,
∴数列{an}为等差数列,
设其公差为d,则a3=3+2d,S3=3a1+3d=9+3d,
∵等比数列{bn}的各项均为正数,b2=3,公比为q,
∴b3=b2q=3q,
又∵b3+S3=27,b3=a3,
∴$\left\{\begin{array}{l}{3q+9+3d=27}\\{3q=3+2d}\end{array}\right.$,
∴d=3,q=3,
∴数列{an}的通项an=a1+(n-1)d=3+3(n-1)=3n,
数列{bn}的通项bn=${b}_{1}{q}^{n-1}$=$\frac{{b}_{2}}{q}•{q}^{n-1}$=3n-1;
(2)∵Sn=$\frac{n({a}_{1}+{a}_{n})}{2}$=$\frac{n(3+3n)}{2}$,
∴cn=bn+$\frac{1}{{S}_{n}}$=3n-1+$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{n(n+1)}$=3n-1+$\frac{2}{3}$•($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$),
∴Tn=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$+$\frac{2}{3}$•(1-$\frac{1}{n+1}$)=$\frac{1}{2}$•3n+$\frac{1}{6}$-$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{n+1}$.
点评 本题考查求数列的通项及求和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.