题目内容
（2013•温州一模）椭圆M：
+
=1(a＞b＞0)长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若
•
=0且
•
=0，则动点Q在下列哪种曲线上（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| QA |
| PA |
| QB |
| PB |
分析：根据椭圆方程算出A（-a，0），B（a，0）．设P（m，n），Q（x，y），可得
、
关于m、n、x、y的坐标形式，由
•
=0建立关系式，化简得m+a=-
，同理由
•
=0建立关系式，得m-a=-
，再将所得的两个式子对应相乘，结合点P（m，n）是椭圆
+
=1上的点，化简得
+
=1，即为动点Q的轨迹方程，可得本题答案．
| QA |
| PA |
| QA |
| PA |
| ny |
| x+a |
| QB |
| PB |
| ny |
| x-a |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 | ||
|
解答：
解：设P（m，n），Q（x，y）
∵椭圆M的方程为
+
=1(a＞b＞0)，
∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（-a，0），B（a，0）
∴
=（x+a，y），
=（m+a，n）
∵
•
=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=-
…①
同理根据
•
=0，可得m-a=-
…②
①×②，可得m2-a2=
．…③
∵点P（m，n）是椭圆
+
=1上的动点，
∴
+
=1，整理得n2=
（a2-m2），
代入③可得：m2-a2=
（a2-m2）•
，化简得
+
=1
此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案
故选：B
解：设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（-a，0），B（a，0）
∴
| QA |
| PA |
∵
| QA |
| PA |
| ny |
| x+a |
同理根据
| QB |
| PB |
| ny |
| x-a |
①×②，可得m2-a2=
| n2y2 |
| x2-a2 |
∵点P（m，n）是椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴
| m2 |
| a2 |
| n2 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
代入③可得：m2-a2=
| b2 |
| a2 |
| y2 |
| x2-a2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 | ||
|
此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案
故选：B
点评：本题给出椭圆的长轴为AB，椭圆上的动点P满足若
•
=0且
•
=0，求动点Q的轨迹方程，着重考查了椭圆的简单几何性质、向量数量积的计算公式和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．
| QA |
| PA |
| QB |
| PB |
练习册系列答案
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