题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
为参数),过点
且倾斜角为
的直线
与曲线
交于
两点.
(1)求的取值范围;
(2)求中点
的轨迹的参数方程.
【答案】(1) (2)
(
为参数,
).
【解析】
(1)求出曲线和直线的普通方程,通过直线与圆相交求出斜率的范围,从而得出倾斜角的范围;
(2)设出对应的参数,联立直线与圆的方程,借助韦达定理表示
的参数,从而得出点
的轨迹的参数方程.
解:(1) 曲线的直角坐标方程为
,
当时,
与
交于两点,
当时,记
,则
的方程为
,
与
交于两点当且仅当
,
解得或
,
即或
,
综上的取值范围是
.
(2)的参数方程为
(
为参数,
),
设对应的参数分别为
,
则且
满足
,
由韦达定理可得:,
故 ,
又点的坐标
满足
所以点的轨迹的参数方程为
(
为参数,
).
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