题目内容
【题目】定义在R上的函数f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=4(1﹣|x﹣1|),且对于任意实数x∈[2n﹣2,2n+1﹣2](n∈N* , n≥2),都有f(x)= f( ﹣1).若g(x)=f(x)﹣logax有且只有三个零点,则a的取值范围是( )
A.[2,10]
B.[ , ]
C.(2,10)
D.[2,10)
【答案】C
【解析】解:当x∈[0,2]时,f(x)=4(1﹣|x﹣1|), 当n=2时,x∈[2,6],此时 ﹣1∈[0,2],则f(x)= f( ﹣1)= ×4(1﹣| ﹣1﹣1|)=2(1﹣| ﹣2|),
当n=3时,x∈[6,14],此时 ﹣1∈[2,6],则f(x)= f( ﹣1)= ×2(1﹣| ﹣ |)=1﹣| ﹣ |,
由g(x)=f(x)﹣logax=0,得f(x)=logax,分别作出函数f(x)和y=logax的图象,
若0<a<1,则此时两个函数图象只有1个交点,不满足条件.
若a>1,当对数函数图象经过A时,两个图象只有2个交点,当图象经过点B时,两个函数有4个交点,
则要使两个函数有3个交点,则对数函数图象必须在A点以下,B点以上,
∵f(4)=2,f(10)=1,∴A(4,2),B(10,1),
即满足 ,
即 ,解得 ,
即2<a<10,
故选:C.
由g(x)=f(x)﹣logax=0,得f(x)=logax,分别作出函数f(x)和y=logax的图象,利用数形结合即可得到结论.
【题目】在高中学习过程中,同学们经常这样说:“如果物理成绩好,那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究,得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论,现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩,如表:
成绩/编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
物理(x) | 90 | 85 | 74 | 68 | 63 |
数学(y) | 130 | 125 | 110 | 95 | 90 |
(参考公式: = , = ﹣ )
参考数据:902+852+742+682+632=29394,90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595.
(1)求数学成绩y关于物理成绩x的线性回归方程 = x+ ( 精确到0.1),若某位学生的物理成绩为80分,预测他的数学成绩;
(2)要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛,以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数,求随机变量X的分布列及数学期望.