题目内容
【题目】已知椭圆的左顶点为
,右焦点为
,直线
与
轴相交于点
,且
是
的中点.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)过点的直线与椭圆相交于
两点,
都在
轴上方,并且
在
之间,且
到直线
的距离是
到直线
距离的
倍.
①记的面积分别为
,求
;
②若原点到直线
的距离为
,求椭圆方程.
【答案】(1);(2)①
;②
.
【解析】
试题本题以直线与椭圆的位置关系为背景.第(1)小题设计为求椭圆的离心率,只需利用条件是
的中点,可得
,从而得
.第(2)小题中第①题求
,需要用等积法进行转化,即
.第②题求椭圆方程,设直线
方程为
.注意到
,和原点
到直线
的距离为
,
,从而可以确定
,
,
的值.
试题解析:(1)因为是
的中点,所以
,即
,又
、
,
所以,所以
;
(2)①解法一:过作直线
的垂线,垂足分别为
,依题意,
,
又,故
,故
是
的中点,∴
,
又是
中点,∴
,∴
;
解法二:∵,∴
,椭圆方程为
,
,
,
设,
,点
在椭圆
上,即有
,
同理,
又,故
得
是
的中点,∴
,
又是
中点,∴
,∴
;
②解法一:设,则椭圆方程为
,
由①知是
的中点,不妨设
,则
,
又都在椭圆上,即有
即
两式相减得:,解得
,
可得,故直线
的斜率为
,
直线的方程为
,即
原点到直线
的距离为
,
依题意,解得
,故椭圆方程为
.
解法二:设,则椭圆方程为
,
由①知是
的中点,故
,
直线的斜率显然存在,不妨设为
,故其方程为
,与椭圆联立,并消去
得:
,整理得:
,(*)
设,
,依题意:
]
由
解得:
所以,解之得:
,即
.
直线的方程为
,即
原点到直线
的距离为
,
依题意,解得
,故椭圆方程为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】“五一”期间,甲乙两个商场分别开展促销活动.
(Ⅰ)甲商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖一次,从装有大小、形状相同的4个白球、4个黑球的袋中摸出4个球,中奖情况如下表:
摸出的结果 | 获得奖金(单位:元) |
4个白球或4个黑球 | 200 |
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球 | 20 |
2个黑球2个白球 | 10 |
记为抽奖一次获得的奖金,求
的分布列和期望.
(Ⅱ)乙商场的规则是:凡购物满100元,可抽奖10次.其中,第次抽奖方法是:从编号为
的袋中(装有大小、形状相同的
个白球和
个黑球)摸出
个球,若该次摸出的
个球颜色都相同,则可获得奖金
元;记第
次获奖概率
.设各次摸奖的结果互不影响,最终所获得的总奖金为10次奖金之和.
①求证:;
②若某顾客购买120元的商品,不考虑其它因素,从获得奖金的期望分析,他应该选择哪一家商场?