题目内容

如图．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=
3
2
，F1为椭圆的左焦点且
AF1
•
F1B
=1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．
（Ⅰ）易知A（-a，0），B（a，0），F1（-c，0），
∴
AF1
•
F1B
=(a-c，0)•(a+c)=1，∴a2-c2=b2=1，
又e=
3
2
，∴e2=
c2
a2
=
a2-1
a2
=
3
4
，解得a2=4，
∴所求椭圆方程为：
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）设P（x0，y0），则Q（x0，2y0）（x0≠±2），
∴kAQ=
2y0
x0+2
，所以直线AQ方程：y=
2y0
x0+2
(x+2)，
∴M(2，
8y0
x0+2
)，则N(2，
4y0
x0+2
)，
∴kQN=
4y0
x0+2
-2y0
2-x0
=
2x0y0
x02-4
，
又点P的坐标满足椭圆方程，则x02+4y02=4，
所以x02-4=-4y02，∴kQN=
2x0y0
x02-4
=
2x0y0
-4y02
=-
x0
2y0
，
∴直线QN的方程：y-2y0=-
x0
2y0
(x-x0)，
化简整理得到：x0x+2y0y=x02+4y02=4，即x0x+2y0y=4，
所以点O到直线QN的距离d=
4
x02+4y02
=2，
故直线QN与AB为直径的圆O相切．
练习册系列答案
相关题目
如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=
4
2
3
，|CD|=2-
4
2
3
，AC⊥BD．M为CD的中点．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ0，使
MP
=λ0
PN
，且P点到A、B的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过（0，
1
2
）的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．
在直线l：x-y+9=0上任取一点M，过M作以F1（-3，0），F2（3，0）为焦点的椭圆，当M在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程．
已知直角坐标平面内点A（x，y）到点F1（-1，0）与点F2（1，0）的距离之和为4．
（1）试求点A的轨迹M的方程；
（2）若斜率为
1
2
的直线l与轨迹M交于C、D两点，点P(1，
3
2
)为轨迹M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论．
已知O为坐标原点，F是抛物线E：y2=4x的焦点．
（Ⅰ）过F作直线l交抛物线E于P，Q两点，求
OP
•
OQ
的值；
（Ⅱ）过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点，且M，N分别为线段AB，CD的中点，求△TMN的面积最小值．
设椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且
AP
=
8
5
PQ
．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+
3
y+3=0相切，求椭圆C的方程．
已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（1）求曲线C的方程；
（2）设直线l交曲线C于A，B两点，线段AB的中点为D（2，-1），求直线l的一般式方程．
如图，已知F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆C的离心率e=
1
2
，F1也是抛物线C1：y2=-4x的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l交椭圆C于D，E两点，且2
DF2
=
F2E
，点E关于x轴的对称点为G，求直线GD的方程．
已知椭圆
x2
4
+
y2
2
=1，过程P（1，1）作直线l，与椭圆交于A，B两点，且点P是线段AB的中点，则直线l的斜率为______．

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