题目内容

已知直角坐标平面内点A（x，y）到点F1（-1，0）与点F2（1，0）的距离之和为4．
（1）试求点A的轨迹M的方程；
（2）若斜率为
1
2
的直线l与轨迹M交于C、D两点，点P(1，
3
2
)为轨迹M上一点，记直线PC的斜率为k1，直线PD的斜率为k2，试问：k1+k2是否为定值？请证明你的结论．
（1）由题知|AF1|+|AF2|=4，|F1F2|=2，则|AF1|+|AF2|＞|F1F2|
由椭圆的定义知点A轨迹M是椭圆，其中a=2，c=1．
因为b2=a2-c2=3，
所以，轨迹M的方程为
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）设直线l的方程为：y=
1
2
x+b，C（x1，y1），D（x2，y2）
联立直线l'的方程与椭圆方程，消去y可得：3x2+4(
1
2
x+b)2=12，
化简得：x2+bx+b2-3=0
当△＞0时，即，b2-4（b2-3）＞0，也即|b|＜2时，直线l'与椭圆有两交点，
由韦达定理得：
x1+x2=-b
x1•x2=b2-3
，
所以，k1=
y1-
3
2
x1-1
=
1
2
x1+b-
3
2
x1-1
，k2=
y2-
3
2
x2-1
=
1
2
x2+b-
3
2
x2-1

则k1+k2=
1
2
x1+b-
3
2
x1-1
+
1
2
x2+b-
3
2
x2-1
=
x1•x2+(b-2)(x1+x2)+3-2b
(x1-1)(x2-1)
=
b2-3+(b-2)(-b)+3-2b
(x1-1)(x2-1)
=0，
所以，k1+k2为定值．
练习册系列答案
相关题目
已知曲线C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）设m=2，过点D（0，4）的直线l与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若∠OMN为直角，求直线l的斜率．
（1）已知△ABC的顶点A（0，-1），B（0，1），直线AC，直线BC的斜率之积等于m（m0），求顶点C的轨迹方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线．
（2）已知圆M的方程为：（x+1）2+y2=（2a）2（a＞0，且a1），定点N（1，0），动点P在圆M上运动，线段PN的垂直平分线与直线MP相交于点Q，求点Q轨迹方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，直线l：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l1与椭圆C交于G，H两点．设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．如果存在，求出实数m的取值范围，如果不存在，请说明理由．
已知椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
3
2
，短轴长为2，点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆上的两点，
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线AB的斜率；
（3）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
已知F1，F2为椭圆x2+
y2
2
=1上的两个焦点，A，B是过焦点F1的一条动弦，则△ABF2的面积的最大值为（　　）
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2
如图．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=
3
2
，F1为椭圆的左焦点且
AF1
•
F1B
=1．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ．连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，两个焦点分别为F1和F2，椭圆C上一点到F1和F2的距离之和为12．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆上；异于点B的两点，且PB⊥QB，求证直线PQ经过y轴上一定点．
已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个顶点A的坐标是（0，-1），且右焦点Q到直线x-y+2
2
=0的距离为3．
（1）求椭圆方程；
（2）试问是否存在斜率为k（k≠0）的直线l，使l与椭圆M有两个不同的交点B、C，且|AB|=|AC|？若存在，求出k的范围，若不存在，说明理由．

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