Question

设f：N*→N*，f（x）是定义在正整数集上的增函数，且f（f（k））=3k，则f（2012）=______．

Answer 1

∵f（f（k））=3k，∴取k=1，得f（f（1））=3，
假设f（1）=1时，有f（f（1））=f（1）=1矛盾
假设f（1）≥3，因为函数是正整数集上的增函数，得f（f（1））≥f（3）＞f（1）≥3矛盾
由以上的分析可得：f（1）=2，代入f（f（1））=3，得f（2）=3，
可得f（3）=f（f（2））=3×2=6，f（6）=f（f（3））=3×3=9，f（9）=f（f（6））=3×6=18
由f（f（k））=3k，取k=4和5，得f（f（4））=12，f（f（5））=15，
∵在f（6）和f（9）之间只有f（7）和f（8），且f（4）＜f（5），
∴f（4）=7，f（7）=12，f（8）=15，f（5）=8，
由f（x）是增函数可得f（x）的反函数f^-1（x）也是增函数
下证f（3k）=3f（k），且f^-1（3k）=3f^-1（k），
①若f（3k）＜3f（k），则f^-1（3k）＜3f^-1（k），
∵满足f（n）=k的n必定满足n＜k，即f^-1（k）＜k，得f^-1（3k）＜3k
∴3f^-1（3k）＜9k=f（f（3k））＜f（3f（k）），得3f（k）＞3f^-1（3k），矛盾
②若f（3k）＞3f（k），则类似①的证法可得3f（k）＜3f^-1（3k），矛盾
综上所述，得f（3k）=3f（k）且f^-1（3k）=3f^-1（k）
∴f（2187）=f（3×729）=3f（729）=3²f（243）=3³f（81）=3⁴f（27）=3⁵f（9）=3⁶f（3）=3⁷f（1）=4374，
同理f（1944）=3⁵×f（8）=243×15=3645
又∵f（f（k））=3k，∴f（k）的值域包括所有3的倍数．
∵1944到2187间有242个数，3645到4374之间有242个三的倍数，
∴1944到2187之间全部值都是3的倍数
由此可得：f（2012）=3645+（2012-1944）×3=3849