题目内容
5.在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,且(2a-c)cosB=bcosC.(1)求角B;
(2)设b=2$\sqrt{3}$,a+c=6,求a、c.
分析 (1)三角形ABC中,由余弦定理可得 cosB和cosC的解析式,代入bcosC=(2a-c)cosB化简可得 a2+c2-b2=ac,可得cosB的值,从而得到B的值.
(2)若b=2$\sqrt{3}$,a+c=4,代入a2+c2-b2=ac,求得ac的值,即可解得a、c的值.
解答 解:(1)三角形ABC中,由余弦定理可得 cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$,cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$,
代入bcosC=(2a-c)cosB可得 a2+c2-b2=ac ①,
∴cosB=$\frac{1}{2}$,0<B<π,
∴B=$\frac{π}{3}$.
(2)若b=2$\sqrt{3}$,a+c=6②,代入①可得 a2+c2-12=(a+c)2-2ac-12=36-2ac-12=ac,
∴ac=8③.
∴由②③解得:c2-6c+8=0,解得:c=4或2,故解得a=2或4.
点评 本题主要考查余弦定理的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题.
练习册系列答案
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