题目内容

19.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$
(1)求角C的大小;
(2)若B+C=$\frac{7π}{12}$,b=$\sqrt{6}$,求c.

分析 (1)由正弦定理可得:$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$,又$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$,可得sinC=$\sqrt{3}$cosC,即tanC=$\sqrt{3}$,解出即可.
(2)由C=$\frac{π}{3}$,又B+C=$\frac{7π}{12}$,可得B=$\frac{π}{4}$.由正弦定理可得:$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$,解出即可.

解答 解:(1)由正弦定理可得:$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$,又$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$,∴sinC=$\sqrt{3}$cosC,∴tanC=$\sqrt{3}$,∵C∈(0,π),∴C=$\frac{π}{3}$.
(2)∵C=$\frac{π}{3}$,又B+C=$\frac{7π}{12}$,∴B=$\frac{π}{4}$.
由正弦定理可得:$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$,
∴$c=\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{\sqrt{6}sin\frac{π}{3}}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查了正弦定理余弦定理解三角形,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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