题目内容
11.已知函数f(x)=ax2-2x+3,x∈(0,3].(1)当a=1时,求函数f(x)的值域;
(2)若集合A={x|f(x)=0,0<x≤3}≠∅,求实数a的取值范围.
分析 (1)利用函数的解析式,确定函数的对称轴和图象的开口方向,运用二次函数的性质,即可求得函数f(x)的值域.
(2)分类讨论,利用方程根的讨论方法,即可求实数a的取值范围.
解答 解:(1)∵当a=1时,函数f(x)=x2-2x+3,
∴f(x)=(x-1)2+2,
对称轴为x=1,图象是开口向上的抛物线,
∵离对称轴越近,其对应的函数值越小,
又∵x∈[0,3],
∴当x=1时,f(x)取得最小值为2,当x=3时,f(x)取得最大值为6,
∴f(x)的值域为[2,6];
(2)a<0,则f(3)≤0,∴9a-6+3≤0,∴a≤$\frac{1}{3}$,∴a<0;
a=0,-2x+3=0,可得x=1.5,满足题意;
a>0,△=4-12a=0,可得a=$\frac{1}{3}$,x=3,满足题意;
△>0,可得a<$\frac{1}{3}$,则f(3)≥0且0<$\frac{1}{a}$≤3,无解,
∴a≤0或a=$\frac{1}{3}$.
点评 本题考查了二次函数的性质以及求函数的值域问题.求函数的值域要注意考虑定义域的取值,再根据函数的解析式进行判断该使用何种方法求解值域.
练习册系列答案
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6.下列命题不正确的是( )
A. | 根据古典概型概率计算公式P(A)=$\frac{{n}_{A}}{n}$求出的值是事件A发生的概率的精确值 | |
B. | 根据几何概型概率计算公式P(A)=$\frac{{μ}_{A}}{{μ}_{Ω}}$求出的值是事件A发生的概率的精确值 | |
C. | 根据古典概型试验,用计算机或计算器产生随机整数统计试验次数N和事件A发生的次数N1,得到的值$\frac{{N}_{1}}{N}$是P(A)的近似值 | |
D. | 根据几何概型试验,用计算机或计算器产生均匀随机数统计试验次数N和事件A发生次数N1,得到的值$\frac{{N}_{1}}{N}$是P(A)的精确值 |
16.设a,x>0,化简(27a${\;}^{-\frac{1}{3}}$•$\sqrt{{x}^{-\frac{1}{3}}{a}^{2}•\root{4}{{x}^{\frac{4}{3}}}}$)${\;}^{\frac{1}{3}}$的结果是( )
A. | 3a${\;}^{\frac{2}{9}}$x | B. | 3a${\;}^{\frac{1}{3}}$ | C. | 3a${\;}^{\frac{2}{9}}$ | D. | 3a${\;}^{\frac{1}{3}}$x2 |