Question

5．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-3）x+2，x≤1\\{x^{1-a}}，x＞1\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（　　）

• A． （1，3）
• B． （1，2]
• C． [2，3）
• D． （2，3）

Answer 1

分析 若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-3）x+2，x≤1\\{x^{1-a}}，x＞1\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的减函数，则$\left\{\begin{array}{l}a-3＜0\\ 1-a＜0\\ a-3+2≥1\end{array}\right.$，解得a的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（a-3）x+2，x≤1\\{x^{1-a}}，x＞1\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的减函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-3＜0\\ 1-a＜0\\ a-3+2≥1\end{array}\right.$，
解得：a∈[2，3），
故选：C

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．