Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
（1）求证：平面ABM平面PCD;
（2）求三棱锥M-ABD的体积.

Answer 1

（1）见解析（2）

解析试题分析：（1）由PA⊥平面ABCD知，PA⊥AB，由ABCD为矩形知，AB⊥AD，由线面垂直判定定理知，AB⊥PAD，所以PB⊥AB，由以BD为直径的球与PB的交点为M知，BM⊥DM，由线面垂直判定知PD⊥面ABM，由面面垂直判定定理知面PCD⊥面ABM；（2）由（1）知，PD⊥面ABM，所以PD⊥AM，因为PA=AD=4，所以M是PD的中点，取AD的中点为N，则NM平行PA，因为PA⊥平面ABCD，所以MN⊥ABCD，MN==2，即MN是三棱锥M-ABD的高，用棱锥的体积公式即可求出其体积.
试题解析：（1）   
又      
由题意得,

又              6分
（2）由（1）知，PD⊥面ABM，所以PD⊥AM，
因为PA=AD=4，所以M是PD的中点，
取AD的中点为N，则NM平行PA，
因为PA⊥平面ABCD，所以MN⊥ABCD，MN==2，
所以===.  12分
考点:球的性质，线面垂直的判定与性质，面面垂直判定定理，棱锥的体积公式，逻辑推论证能力.