题目内容
【题目】已知△ABC的两顶点坐标A(﹣1,0),B(1,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M.
(I)求曲线M的方程;
(Ⅱ)设直线BC与曲线M的另一交点为D,当点A在以线段CD为直径的圆上时,求直线BC的方程.
【答案】解:(I)由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4>|AB|,
所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点),
所以a=2,c=1,
所以b= ,
所以曲线M: (y≠0)为所求.
(Ⅱ)注意到直线BC的斜率不为0,且过定点B(1,0),
设直线BC的方程为x=my+1,C(x1,y1),D(x2,y2),
与椭圆方程联立,消x得(4+3m2)y2+6my﹣9=0,
所以y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣
因为 =(my1+2,y1), =(my2+2,y2),
所以 =(my1+2)(my2+2)+y1y2=
注意到点A在以CD为直径的圆上,所以 =0,即m=±
所以直线BC的方程 或 为所求
【解析】(I)由题意,可得曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点),从而可得求曲线M的方程;(Ⅱ)设与直线BC的方程,与椭圆方程联立,消x,利用韦达定理,结合 =0,即可求直线BC的方程.