Question

（2006•奉贤区一模）（理）若x+y=

π

3

，则sinx•siny的最小值为

-

3

4

．

Answer 1

分析：利用积化和差公式，化简sinx•siny，利用x+y=

π

3

，求出表达式为

1

2

cos（x-y）-

1

4

，利用三角函数的范围，求出表达式的最小值即可．

解答：解：sinx•siny=

1

2

[cos（x-y）-cos（x+y）]=

1

2

[cos（x-y）-

1

2

]=

1

2

cos（x-y）-

1

4

．
易知-1≤cos（x-y）≤1，所以-

1

2

≤

1

2

cos（x-y）≤

1

2

．
-

3

4

≤

1

2

cos（x-y）-

1

4

≤

1

4

．所以-

3

4

≤sinxsiny≤

1

4

．
易知当x=120°，y=-60°时，sinxsiny=-

3

4

，达到最小值．
故（sinxsiny）_min=-

3

4

．
故答案为-

3

4

．

点评：本题是基础题，考查三角函数的积化和差的应用，余弦函数的值域的求法，考查计算能力．