Question

【题目】定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时， f（x）= ，
则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（ ）
A.1﹣2a
B.2a﹣1
C.1﹣2﹣a
D.2﹣a﹣1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵当x≥0时，

f（x）= ；

即x∈[0，1）时，f（x）= （x+1）∈（﹣1，0]；

x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；

x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；

画出x≥0时f（x）的图象，

再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；

则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，

最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，

∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），

∴f（﹣x）= （﹣x+1），

又f（﹣x）=﹣f（x），

∴f（x）=﹣ （﹣x+1）= （1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），

∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，

解得x=1﹣2a，

∴所有根的和为1﹣2a．

故选：A．

【考点精析】利用函数的零点对题目进行判断即可得到答案，需要熟知函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点．