Question

已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数k使

NA

•

NB

=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），把直线方程代入抛物线方程消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的值，进而求得N和M的横坐标，表示点M的坐标，设抛物线在点N处的切线l的方程将y=2x²代入进而求得m和k的关系，进而可知l∥AB．
（2）假设存在实数k，使

NA

•

NB

=0成立，则可知NA⊥NB，又依据M是AB的中点进而可知|MN|=

1

2

|AB|．根据（1）中的条件，分别表示出|MN|和|AB|代入|MN|=

1

2

|AB|求得k．

解答：解：（Ⅰ）如图，设A（x₁，2x₁²），B（x₂，2x₂²），
把y=kx+2代入y=2x²得2x²-kx-2=0，
由韦达定理得x1+x2=

k

2

，x₁x₂=-1，
∴xN=xM=

x1+x2

2

=

k

4

，∴N点的坐标为(

k

4

，

k2

8

)．
设抛物线在点N处的切线l的方程为y-

k2

8

=m(x-

k

4

)，
将y=2x²代入上式得2x2-mx+

mk

4

-

k2

8

=0，
∵直线l与抛物线C相切，
∴△=m2-8(

mk

4

-

k2

8

)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0，
∴m=k，即l∥AB．

（Ⅱ）假设存在实数k，使

NA

•

NB

=0，则NA⊥NB，
又∵M是AB的中点，∴|MN|=

1

2

|AB|．
由（Ⅰ）知yM=

1

2

(y1+y2)=

1

2

(kx1+2+kx2+2)=

1

2

[k(x1+x2)+4]=

1

2

(

k2

2

+4)=

k2

4

+2．
∵MN⊥x轴，
∴|MN|=|yM-yN|=

k2

4

+2-

k2

8

=

k2+16

8

．
又|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

( k 2 )2-4×(-1)

=

1

2

k2+1

•

k2+16

．
∴

k2+16

8

=

1

4

k2+1

•

k2+16

，
解得k=±2．
即存在k=±2，使

NA

•

NB

=0．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合把握所学知识和基本的运算能力．