Question

已知抛物线C：y=-x²+2x，在点A（0，0），B（2，0）分别作抛物线的切线L₁、L₂．
（1）求切线L₁和L₂的方程；
（2）求抛物线C与切线L₁和L₂所围成的面积S．

Answer 1

分析：（1）欲求切线L₁和L₂的方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合A（0，0），B（2，0）都在抛物线上，即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）先通过解方程组得直线与抛物线的交点的坐标和L₁和L₂与x轴交点的坐标，最后根据定积分在求面积中的应用公式即可求得所围成的面积S即可．

解答：解：（1）y=-2x+2，A（0，0），B（2，0）都在抛物线上，
则K₁=2，K₂=-2，切线L₁方程：y=2x，
切线L₂方程：y=-2x+4
（2）由

y=2x y=-2x+4

?

x=1 y=2

P（1，2）--（7分）
S=

∫

1 0

[2x-(-x2+2x)]dx+

∫

2 1

[(-2x+4)-(-x2+2x)]dx
=

∫

1 0

x2dx+

∫

2 1

(x2-4x+4)dx
=(

1

3

x3)

|

1 0

+(

1

3

x3-2x2+4x)

|

2 1

=

1

3

+(

8

3

-

1

3

-2)=

2

3

答：抛物线C与切线L₁和L₂所围成的面积为

2

3

．

点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、定积分在求面积中的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．