题目内容
已知抛物线C：y=x2，从原点O出发且斜率为k0的直线l0交抛物线C于一异于O点的点A1（x1，y1），过A1作一斜率为k1的直线l1交抛物线C于一异于A1的点A2（x2，y2）…，过An作斜率为kn的直线ln交抛物线C于一异于An的点An+1（xn+1，yn+1）且知kn=k0n+1（k0＞0且k0≠1）．
（1）求x1，x2以及xn与xn+1之间的递推关系式；
（2）求{xn}的通项公式．
（1）求x1，x2以及xn与xn+1之间的递推关系式；
（2）求{xn}的通项公式．
分析：（1）根据直线的点斜式方程写出直线l0的方程，与y=x2，联立方程组，求解得出x1，同样地根据直线的点斜式方程写出直线l1的方程，与y=x2，联立方程组，求解得出x2，ln方程与y=x2联立得xn与xn+1之间的递推关系式；
（2）由（1）应得出xn+1=k0n+1-xn，利用此递推关系式求通项．
（2）由（1）应得出xn+1=k0n+1-xn，利用此递推关系式求通项．
解答：解：（1）l0方程为y=kox，与y=x2，联立，解得x1=ko，
且A1（ko，k02），则l1方程为y-k02=k02（x-ko），与y=x2，联立，解得x2=k02-ko，
ln方程为y-xn2=k0n+1（x-xn），与y=x2联立得，x2-k0n+1x-xn2+k0n+1xn=0，显然xn是方程的一个解，
由韦达定理解得xn+1+xn=k0n+1，
∴xn+1=k0n+1-xn，此即为xn与xn+1之间的递推关系式；
（2）由（1）xn+1=k0n+1-xn，
得xn=k0n-xn-1
=k0n-（k0n-1-xn-2）
=k0n-（k0n-1-（k0n-2-xn-3））
=…=k0n-k0n-1+k0n-2-…-k02+（-1）k+1ko，（n≥2）
又n=1时，也适合上式，
所以{xn}的通项公式为xn=k0n-k0n-1+k0n-2-…-k02+（-1）k+1ko
且A1（ko，k02），则l1方程为y-k02=k02（x-ko），与y=x2，联立，解得x2=k02-ko，
ln方程为y-xn2=k0n+1（x-xn），与y=x2联立得，x2-k0n+1x-xn2+k0n+1xn=0，显然xn是方程的一个解，
由韦达定理解得xn+1+xn=k0n+1，
∴xn+1=k0n+1-xn，此即为xn与xn+1之间的递推关系式；
（2）由（1）xn+1=k0n+1-xn，
得xn=k0n-xn-1
=k0n-（k0n-1-xn-2）
=k0n-（k0n-1-（k0n-2-xn-3））
=…=k0n-k0n-1+k0n-2-…-k02+（-1）k+1ko，（n≥2）
又n=1时，也适合上式，
所以{xn}的通项公式为xn=k0n-k0n-1+k0n-2-…-k02+（-1）k+1ko
点评：本题考查数列通项公式求解，数形结合的思想，考查逻辑推理，运算求解能力．
练习册系列答案
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