题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率
,
分别是椭圆
的左右两个顶点,圆
的半径为
,过点
作圆
的切线,切点为
,在
轴的上方交椭圆
于点
.
(1)求直线的方程;
(2)求的值;
(3)设为常数,过点
作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点
,分别交圆
于点
,记三角形
和三角
的面积分别为
.求
的最大值.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
(1)连接,根据已知条件由
,
,可得
,从而有
为等边三角形,可得出直线
倾斜角为
,即可求解;
(2)由,椭圆方程化为
,由(1)知
,求出
点坐标,进而求出直线
方程,与椭圆方程联立,求出点
坐标,即可求解;
(3)设的方程为
,与椭圆方程联立求出
点坐标,进而求出
,同理求出
,求出
以
为自变量的目标函数,应用基本不等式,求出其最大值.
(1)连接,则
,且
,
又,所以
.
又,所以
为正三角形,
所以,
所以直线的方程为
.
(2)由(1)知,由(1)知,
点坐标为
,
,
的方程为
,
因为,即
所以,
故椭圆的方程为
由,消去
,得
,
或
,
所以
(3)不妨设的方程为
,
联立方程组
整理得,
在第一象限,得
所以.
用代替上面的
,得
圆方程为
,
联立整理得
,
或
,得
,所以
,
用代替上面的
,得
所以
因为
当且仅当时等号成立,
所以的最大值为
.
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