题目内容

已知定点A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，2），动点P满足： $数学公式$ ．
（1）求动点P轨迹M的方程，并说明方程表示的曲线类型；
（2）当k=2时：
①E是x轴上的动点，EK，EQ分别切曲线M于K，Q两点，如果 $数学公式$ ，求线段KQ的垂直平分线方程；
②若E点在△ABC边上运动，EK，EQ分别切曲线M于K，Q两点，求四边形DKEQ的面积的取值范围．

解：（1）设动点坐标为P（x，y），
则 $\text{[math]}$ =（x-1，y）， $\text{[math]}$ =（x+1，y）， $\text{[math]}$ =（x，1-y）；
因为 $\text{[math]}$ ，所以x²+y²-1=K[x²+（y-1）²]；
整理得：（k-1）x²+（k-1）y²+k+1=0；
若k=1，则方程为y=1，表示过点（0，1）且平行与x轴的直线，
若k≠1，则方程化为x²+（y- $\text{[math]}$ ）²=（ $\text{[math]}$ ）²，表示以（0， $\text{[math]}$ ）为圆心，| $\text{[math]}$ |为半径的圆．
（2）①因为k=2，所以方程为x²+（y-2）²=1，圆心为D，如图，
由|KQ|= $\text{[math]}$ 可得|DN|= $\text{[math]}$ ，
由射影定理可得|DQ|2=|DN||DE，得|DE|= $\text{[math]}$ ，
在Rt△DOE中，|OE|=1，得E（1，0）（-1，0），
ED⊥KQ且平分KQ，所以DE的方程为2x+y-2=0或2x-y+1=0（0＜y＜1）；
②L_BC：x+y-1=0（0＜y＜1），L_AC：x-y+1=0（0＜y＜1），
当E（a，b）在线段AC上运动时，
S_DKEQ=2S_△DKE=DK•KE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （0＜b＜1），
所以0＜S_DKEQ＜2，
同理，当E（a，b）在线段BC上运动时，0＜S_DKEQ＜2
当E（a，b）在线段BC上运动时，E（a，0）（-1≤a≤1），
S_DKEQ=2S_△DKE=DK•KE= $\text{[math]}$ （-1≤a≤1），
所以 $\text{[math]}$ ≤S_DKEQ≤2，
综上可得，0≤S_DKEQ≤2．
分析：（1）根据题意，设出P的坐标（x，y）；可得则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的坐标，代入 $\text{[math]}$ 中，可得（k-1）x²+（k-1）y²+k+1=0；分K=1与k≠1两种情况讨论，可得答案．
（2）①根据题意k=2，代入（1）的方程可得x²+（y-2）²=1，进而|DN|= $\text{[math]}$ ，结合射影定理计算可得|DE|= $\text{[math]}$ ，在Rt△DOE中，由|OE|=1，得E的坐标，又由ED⊥KQ且平分KQ，由直线的点斜式方程可得答案；
②由（1）可得线段BC、AC的方程，按E的在△ABC的三边上不同位置，不同分3种情况讨论；求出S_DKEQ的范围，综合可得答案．
点评：本题考查直线与圆的方程的综合运用，是解析几何中典型题目，有一定的难度；解题时，要注意不能遗漏对特殊情况的讨论，如本题（1）中对k=1的讨论．