Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1=1（a＞b＞0），点P为其上一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，∠F₁PF₂的外角平分线为l，点F₂关于l的对称点为Q，F₂Q交l于点R．
（1）当P点在椭圆上运动时，求R形成的轨迹方程；
（2）设点R形成的曲线为C，直线l：y=k（x+

2

a）与曲线C相交于A、B两点，当△AOB的面积取得最大值时，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由于∠F₁PF₂的外角平分线为l，点F₂关于l的对称点为Q，F₂Q交l于点R．所以|F₁Q|=|F₂P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a，即点Q的轨迹是圆，从而可求R形成的轨迹方程；
（2）先将△AOB的面积表示为S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sinAOB=

a2

2

sinAOB，从而当∠AOB=90°时，S_△AOB最大值为

1

2

a²．  
故可求k的值．

解答：解：（1）∵点F₂关于l的对称点为Q，连接PQ，∴∠F₂PR=∠QPR，|F₂R|=|QR|，|PQ|=|PF₂|
又因为l为∠F₁PF₂外角的平分线，故点F₁、P、Q在同一直线上，设存在R（x₀，y₀），Q（x₁，y₁），F₁（-c，0），F₂（c，0）．
|F₁Q|=|F₁P|+|PQ|=|F₁P|+|PF₂|=2a，则（x₁+c）²+y₁²=（2a）²．
又x₁=2x₀-c，y₁=2y₀．
∴（2x₀）²+（2y₀）²=（2a）²，∴x₀²+y₀²=a²．
故R的轨迹方程为：x²+y²=a²（y≠0）
（2）∵S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sinAOB=

a2

2

sinAOB
当∠AOB=90°时，S_△AOB最大值为

1

2

a²．  
此时弦心距|OC|=

2 ak

1+k2

．
在Rt△AOC中，∠AOC=45°，

OC

OA

=  

2 ak

a 1+k2

=cos450=

2

2

，∴k=±

3

3

点评：若动点M（x，y）依赖已知曲线上的动点N而运动，则可将转化后的动点N的坐标入已知曲线的方程或满足的几何条件，从而求得动点M的轨迹方程，此法称为代入法，一般用于两个或两个以上动点的情况．