题目内容
【题目】设数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=nan﹣2n(n﹣1),首项=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列的前n项和为Mn,求证:
Mn
.
【答案】(1)an=4n﹣3;(2)见解析
【解析】
(1)根据和项与通项关系得an=an-1+4,再根据等差数列定义以及通项公式得结果,(2)先根据裂项相消法得Mn,再根据n范围以及单调性得结果.
解:(1)Sn=nan﹣2n(n﹣1),
当n≥2时,Sn-1=(n﹣1)an-1﹣2(n﹣1)(n﹣2),
相减可得an=nan﹣2n(n﹣1)﹣(n﹣1)an-1+2(n﹣1)(n﹣2),
化为an=an-1+4,
则{an}为首项为1,公差为4的等差数列,
即有an=1+4(n﹣1)=4n﹣3;
(2)证明:,
前n项和为Mn
由在自然数集上递增,可得n=1时取得最小值
,
且,
则
Mn
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